«Понятие цилиндра»

Понятие  цилиндра. 11 класс

Понятие цилиндра.

11 класс

Цилиндры вокруг нас.

Цилиндры вокруг нас.

Цилиндрическая поверхность.  Если в одной из двух параллельных плоскостей взять окружность,  и из каждой ее точки восстановить перпендикуляр до пересечения со второй плоскостью, то  получится тело, ограниченное двумя кругами и поверхностью, образованной из перпендикуляров.  Это тело называется цилиндром.

Цилиндрическая поверхность.

Если в одной из двух параллельных плоскостей взять окружность,

и из каждой ее точки восстановить перпендикуляр до пересечения со второй плоскостью, то

получится тело, ограниченное двумя кругами и поверхностью, образованной из перпендикуляров.

Это тело называется цилиндром.

Точное название определенного выше тела – прямой круговой цилиндр.  Вообще, цилиндр возникает при пересечении цилиндрической поверхности, образованной множеством параллельных прямых, проведенных через каждую точку замкнутой кривой линии, и двух параллельных плоскостей.

Точное название определенного выше тела – прямой круговой цилиндр.

Вообще, цилиндр возникает при пересечении цилиндрической поверхности, образованной множеством параллельных прямых, проведенных через каждую точку замкнутой кривой линии, и двух параллельных плоскостей.

Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.  В основаниях могут лежать различные фигуры.

Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим. В основаниях могут лежать различные фигуры.

Высота, радиус и ось цилиндра.  Радиусом цилиндра наз. радиус его основания.   Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Высота всегда равна образующей

Высота, радиус и ось цилиндра.

Радиусом цилиндра наз. радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Высота всегда равна образующей

Вспомните формулу нахождения площади круга и найдите площадь основания цилиндра , радиус которого равен 2. 4

Вспомните формулу нахождения площади круга и найдите площадь основания цилиндра , радиус которого равен 2.

4

Прямая, соединяющая центры оснований цилиндра, называется осью цилиндра. Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется осевым сечением.

Прямая, соединяющая центры оснований цилиндра, называется осью цилиндра.

Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется осевым сечением.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если известны радиус его основания и высота. 20

Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если известны радиус его основания и высота.

20

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси .

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси .

Любое сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – это круг , равный основанию.

Любое сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – это круг , равный основанию.

Пусть цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3 π . Чему равен радиус цилиндра?

Пусть цилиндр пересекли плоскостью, перпендикулярной оси и получили круг площадью 3 π . Чему равен радиус цилиндра?

Задача. Высота цилиндра 7 см, а радиус основания 5 см. В цилиндре расположена трапеция так, что все ее вершины находятся на окружностях оснований цилиндра. Найти площадь трапеции и угол между основанием и плоскостью трапеции, если параллельные стороны трапеции равны 6см и 8 см.

Задача.

Высота цилиндра 7 см, а радиус основания 5 см. В цилиндре расположена трапеция так, что все ее вершины находятся на окружностях оснований цилиндра. Найти площадь трапеции и угол между основанием и плоскостью трапеции, если параллельные стороны трапеции равны 6см и 8 см.

Дано: цилиндр; Н = 7, R = 5  АВС D – трапеция,  АВ = 6, С D = 8 Найти: S ABCD ; угол между АВС D и основанием.

Дано: цилиндр; Н = 7, R = 5

АВС D – трапеция,

АВ = 6, С D = 8

Найти: S ABCD ; угол между АВС D и основанием.

Проведем дополнительное построение: построим высоту трапеции, ее проекцию на верхнее основание цилиндра и перенесем параллельным переносом нижнее основание трапеции на верхнее основание цилиндра.  НК – высота трапеции НН 1 – проекция НК на основание Н 1 К = ОО 1 = 7 С 1 D 1  | | С D ; С 1 D 1 = CD

Проведем дополнительное построение: построим высоту трапеции, ее проекцию на верхнее основание цилиндра и перенесем параллельным переносом нижнее основание трапеции на верхнее основание цилиндра.

НК – высота трапеции

НН 1 – проекция НК на основание

Н 1 К = ОО 1 = 7

С 1 D 1 | | С D ; С 1 D 1 = CD

Рассмотрим проекцию высоты трапеции на верхнее основание цилиндра. Δ АОВ и Δ С 1 О D 1 –  равнобедренные. АН = НВ → НВ = ½ АВ = 3. С 1 Н 1 =Н 1 D 1 → Н 1 D 1 = ½С 1 D 1 =4  Из Δ ОВН: ОН = 4.   Из Δ О D 1 Н 1 : ОН 1 = 3 .  7  НН 1 = ОН + ОН 1 =

Рассмотрим проекцию высоты трапеции на верхнее основание цилиндра.

Δ АОВ и Δ С 1 О D 1

равнобедренные.

АН = НВ → НВ = ½ АВ = 3.

С 1 Н 1 1 D 1 Н 1 D 1 = ½С 1 D 1 =4

Из Δ ОВН: ОН = 4.

Из Δ О D 1 Н 1 : ОН 1 = 3 .

7

НН 1 = ОН + ОН 1 =

Найдем высоту трапеции, ее площадь и искомый угол.  НН 1 = 7, Н 1 К = 7  ے Н 1 НК = ے НКН 1 = 45 0  НК = 7√2  S ABCD = ½ (АВ + С D )*НК  S АВС D  = 49√2

Найдем высоту трапеции, ее площадь и искомый угол.

НН 1 = 7, Н 1 К = 7

ے Н 1 НК = ے НКН 1 = 45 0

НК = 7√2

S ABCD = ½ (АВ + С D )*НК

S АВС D = 49√2

Задача для самостоятельного решения.  Расстояние от центра верхнего основания до плоскости нижнего основания равно 6, а площадь осевого сечения равна 72. Найдите расстояние от этого центра до хорды нижнего основания, стягивающей дугу в 90 0 . н 1 О 1 Н 1 = 3 √2

Задача для самостоятельного решения.

Расстояние от центра верхнего основания до плоскости нижнего основания равно 6, а площадь осевого сечения равна 72. Найдите расстояние от этого центра до хорды нижнего основания, стягивающей дугу в 90 0 .

н 1

О 1 Н 1 = 3 √2

Домашнее задание: П. 53, 54 №№ 523, 525, 529.

Домашнее задание:

П. 53, 54

№№ 523, 525, 529.

Легко учиться!