Материал для теоретического опроса по теме: «Четырехугольники»

Параллелограмм

1. В С Параллелограммом называется четырехугольник, у которого

противоположные стороны параллельны.

АВ II СД ВС II АД

А Д

1. Элементы: вершины – А, В, С, Д; углы — ∠А, ∠В, ∠С, ∠Д; стороны — АВ, ВС, СД, АД; диагонали — АС, ВД; высоты – ВН, ВН₁.

2. Свойства сторон: противоположные стороны равны АВ = СД, ВС = АД.

Свойство углов:

• противоположные углы равны — ∠А= ∠С, ∠В=∠Д

• сумма всех углов равна 360⁰ ∠А+ ∠В + ∠С + ∠Д = 360⁰

• сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰ ∠А + ∠В= 180⁰

∠В + ∠С=180⁰ ∠С+ ∠Д=180⁰ ∠А + ∠Д=180⁰

Свойство диагоналей: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. АО= ОС ВО=ОД

1. Признаки:

• Если в четырехугольнике противоположные стороны соответственно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. АВ = СД, ВС = АД.

• Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. АВ = СД АВ II СД

• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом

1. Р = (а + в) ∙ 2 S = a∙h S = a∙b∙sin

Прямоугольник

1. В С Прямоугольником называется параллелограмм, у которого

все углы прямые.

∠А = ∠В = ∠С = ∠Д = 90⁰

А Д

1. Элементы: вершины – А, В, С, Д; углы — ∠А, ∠В, ∠С, ∠Д; стороны — АВ, ВС, СД, АД; диагонали — АС, ВД

1. Свойства сторон: противоположные стороны равны АВ = СД, ВС = АД.

Свойство углов:

• все углы равны — ∠А= ∠С= ∠В=∠Д = 90⁰

• сумма всех углов равна 360⁰ ∠А+ ∠В + ∠С + ∠Д = 360⁰

• сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰ ∠А + ∠В= 180⁰

∠В + ∠С=180⁰ ∠С+ ∠Д=180⁰ ∠А + ∠Д=180⁰

Свойство диагоналей:

• диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. АО= ОС ВО=ОД

• Диагонали в прямоугольнике равны. АС = ВД

1. Признак прямоугольника:

• Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

1. Р = (а + в) ∙ 2 S = a∙ b

Ромб

1. А

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны

равны.

Д В АВ = ВС = СД = АД

С

1. Элементы: вершины – А, В, С, Д; углы — ∠А, ∠В, ∠С, ∠Д; стороны — АВ, ВС, СД, АД; диагонали — АС, ВД; высоты – ВН, ВН₁.

2. Свойства сторон: все стороны равны АВ = СД = ВС = АД.

Свойство углов:

• противоположные углы равны — ∠А= ∠С, ∠В=∠Д

• сумма всех углов равна 360⁰ ∠А+ ∠В + ∠С + ∠Д = 360⁰

• сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰ ∠А + ∠В= 180⁰

∠В + ∠С=180⁰ ∠С+ ∠Д=180⁰ ∠А + ∠Д=180⁰

Свойство диагоналей:

• диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. АО= ОС ВО=ОД

• диагонали ромба перпендикулярны АС ВД

• Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

1. Признак ромба: если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом.

2. Р = 4а S = S = a h

Квадрат

1. В С Квадратом называется прямоугольник, у которого все

стороны равны.

АВ = ВС = СД = АД

А Д

2.Элементы: вершины – А, В, С, Д; углы — ∠А, ∠В, ∠С, ∠Д; стороны — АВ, ВС, СД, АД; диагонали — АС, ВД

1. Свойства сторон: все стороны равны АВ = СД = ВС = АД.

Свойство углов:

• все углы равны — ∠А= ∠С= ∠В=∠Д = 90⁰

• сумма всех углов равна 360⁰ ∠А+ ∠В + ∠С + ∠Д = 360⁰

• сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180⁰ ∠А + ∠В= 180⁰

∠В + ∠С=180⁰ ∠С+ ∠Д=180⁰ ∠А + ∠Д=180⁰

Свойство диагоналей:

• диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. АО= ОС ВО=ОД

• Диагонали в квадрате равны. АС = ВД

• диагонали квадрата перпендикулярны АС ВД

• Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.

1. Признак квадрата: если в прямоугольнике все стороны равны, то это квадрат.

2. Р = 4а S = a²

Трапеция

1. Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет.

В С

А Д

ВС II АД ВС II АД

1. Элементы: вершины – А, В, С, Д; углы — ∠А, ∠В, ∠С, ∠Д; стороны — АВ, ВС, СД, АД

(основания АД и ВС; боковые стороны – АВ и СД); диагонали — АС, ВД; высоты – ВН, СН₁, MN – средняя линия

1. Свойство углов:

• сумма всех углов равна 360⁰ ∠А+ ∠В + ∠С + ∠Д = 360⁰

• сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180⁰ ∠А + ∠В= 180⁰

∠С+ ∠Д=180⁰

Свойство диагоналей:

• диагонали трапеции пересекаются.

Свойство средней линии:

• средняя линия параллельна основаниям

• средняя линия равна полу сумме оснований

1. Виды трапеций:

• Прямоугольная трапеция – это трапеция, которая имеет прямой угол.

• Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны

• В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

• Если трапеция является равнобедренной, то её диагонали образуют равные углы с каждым из её оснований.

• В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Признаки равнобедренной трапеции:

• Если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной

• Если у трапеции углы при одном из оснований равны, то углы равны и при другом основании, а трапеция является равнобедренной.

• Если диагонали трапеции образуют равные углы с одним из оснований, то диагонали образуют равные углы и с другим основанием, а трапеция является равнобедренной.

1. Р = a + b + c + d S =